Question

(2007江苏，20)已知是等差数列，是公比为q的等比数列，，．记为数列的前n项和．

(1)若(m，k是大于2的正整数)，求证：；

(2)若(i是某个正整数)，求证：q是整数，且数列中的每一项都是数列中的项；

(3)是否存在这样的正数q，使等比数列中有三项成等差数列?若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)设等差数列的公差为d，则由题设得 ，，且q≠1． 由得， 所以， ． 故等式成立． (2)(i)证明q为整数： 由得， 即， 移项得． 因，，得q=i－2，故q为整数． (ii)证明数列中的每一项都是数列中的项： 设是数列中的任一项，只要讨论n＞3的情形． 令， 即， 得． 因q=i－2，当i=1时，q=－1，为－1或0，则k为1或2； 而i≠2，否则q=0，矛盾． 当i3时，q为正整数，所以k为正整数，从而． 故数列中的每一项都是数列中的项． (3)取，，． ． 所以，，成等差数列．