Question

11．集合A={x|x=3n+1，n∈Z}，B={x|x=3n+2，n∈Z}，M={x|x=6n+3，n∈Z}．
（1）若m∈M，是否有a∈A，b∈B，使m=a+b成立？
（2）对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m，使a+b=m且m∈M？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件知：若a∈A，b∈B，则一定存在n₁，n₂∈z，使得a=3n₁+1，b=3n₂+1，所以a+b=3（n₁+n₂）+3．而集合M的元素需满足：x=6n+3=3•2n+3，显然n₁+n₂=2n时成立，
（2）根据（1）判断：若n₁+n₂为奇数，则结论不正确所以不一定有a+b=m且m∈M．

解答 解：（1）∵a∈A，b∈B；
∴分别存在n₁，n₂∈z使得：
a=3n₁+1，b=3n₂+2；
∴a+b=3（n₁+n₂）+3；
而集合M中的条件是：x=6n+3=3•2n+3；
∴要使a+b∈M，则n₁+n₂=2n，
当n₁+n₂为偶数时，题目结论正确，
（2）由（1）得：若n₁+n₂为奇数，则结论不正确；
∴不一定有a+b=m且m∈M．

点评 本题考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及描述法表示一个集合时，如何判断一个元素是否是这个集合的元素．