Question

已知函数f（x）=

-x2+2x(x＞0) 0              (x=0) x2+mx (x＜0)

为奇函数；
（1）求f（-1）以及实数m的值；
（2）在给出的直角坐标系（如图所示）中画出函数y=f（x）的图象并写出f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）的解析式可求得f（-1），利用f（x）为奇函数，可得f（-1）=-f（1），列出关于m的方程，求解即可得到答案；
（2）根据（1）中的结果，可得到f（x）的解析式，根据解析式分段画图即可，结合图象可得到f（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

-x2+2x(x＞0) 0              (x=0) x2+mx (x＜0)

，
∴f（1）=-1+2=1，
又∵f（x）为奇函数，
∴f（-1）=-f（1），
又由函数表达式可知，f（-1）=1-m，
∴1-m=-1，解得m=2，
故f（1）=1，m=2；
（2）由（1）可知，m=2，
∴f（x）=

-x2+2x (x＞0) 0              (x=0) x2+2x  (x＜0)

，
根据f（x）的解析式作出函数图象如图所示，

根据y=f（x）的图象可得，y=f（x）的单调增区间为[-1，1]，y=f（x）的单调减区间为（-∞，-1）和（1，+∞）．

点评：本题考查了分段函数的应用，主要考查了分段函数的奇偶性，分段函数的图象和分段函数的单调性．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解，根据分段函数的图象很容易得到相关的性质，若选用分类讨论的方法，则关键是讨论需用哪段解析式进行求解．属于中档题．