Question

（本小题满分14分）

已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）．

（1）求数列的通项；

（2）设，，求证：， ．

 

Answer 1

【答案】

解：（1），

，即．         …………………………………3分

令，则，，

因此，数列是首项为，公差为的等差数列．

，                       …………………………………5分

．                     …………………………………6分

（2）（方法一）先证明当时，．

设，则，

当时，，

在上是增函数，则当时，，即．………8分

因此，当时，，， …………9分

当时，，． …………………10分

．

…………………………12分

．

………………………14分

（方法二）数学归纳法证明

（1），，当时，成立；

，，

又，，

当时，成立．           ……………………………………………8分

（2）设时命题成立，即，，

当时，，

要证， 即证，

化简，即证．                                 …………………………9分

设，则，

当时，，

在上是增函数，则当时，，即．

因此，不等式成立，即当时成立． …………………11分

当时，，

要证， 即证，

化简，即证．             

根据前面的证明，不等式成立，则时成立．

由数学归纳法可知，当时，不等式， 成立．……………14分

 

【解析】略