题目内容

9.数列{an}的前n项和Sn=2n+1,
①求{an}的通项公式
②设bn=log2an+2,求$\{\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}\}$的前n项和Tn

分析 ①由已知条件,利用${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1},n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1},n≥2}\end{array}\right.$,能求出{an}的通项公式.
②由${b_n}={log_2}{2^{n+1}}=n+1$,得$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{({n+1})({n+2})}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$,由此利用裂项法能求出$\{\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}\}$的前n项和Tn

解答 解:①∵数列{an}的前n项和Sn=2n+1,
∴n≥2时,${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^n}+1-{2^{n-1}}-1={2^{n-1}}…$①…(4分)
n=1时,a1=S1=3不满足①式…(5分)
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}3&,{n=1}\\{{2^{n-1}}}&,{n≥2}\end{array}}\right.$…(6分)
②∵n+2≥3,bn=log2an+2
∴${b_n}={log_2}{2^{n+1}}=n+1$…(7分),
∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{({n+1})({n+2})}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$…(9分)
${T_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{{2({n+2})}}$.…(12分)

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用.

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