Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）为偶函数，如果点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y²+1）在g（x）=f（x²+c）的图象上．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设F（x）=g（x）-λf（x）．是否存在实数λ，使F（x）在(-∞，-

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)上为减函数，且在[-

2

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，0)上为增函数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²+bx+c为偶函数，故f（-x）=f（x），即有（-x）2+b（-x）+c=x²+bx+c，解得b=0．
由因为点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y²+1）在g（x）=f（x²+c）的图象上，所以c=1，所以f（x）=x²+1
（2）g（x）=f（x²+1）=（x²+1）²+1=x⁴+2x²+2．
F（x）=g（x）-λf（x）=x⁴+（2-λ）x²+（2-λ），F（x₁）-F（x₂）=（x₁+x₂）（x₁-x₂）[x₁²+x₂²+（2-λ）]
由题设当x₁＜x₂＜-

2

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时，（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，x₁²+x₂²+（2-λ）＞

1

2

+

1

2

+2-λ=3-λ，
则3-λ≥0，λ≤3；
当-

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＜x₁＜x₂＜0时，（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，x₁²+x₂²+（2-λ）＞

1

2

+

1

2

+2-λ=3-λ，
则3-λ≥0，λ≥3故λ=3．