题目内容
已知函数f（x）=x2+
（x≠0）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（1）=2，试判断f（x）在[2，+∞）上的单调性．
解：（1）当a=0时，f（x）=x2，f（-x）=f（x），函数是偶函数．…
当a≠0时，f（x）=x2+（x≠0，常数a∈R），取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0；
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f （-1）≠-f （1），f （-1）≠f （1）．…
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…
（2）若f（1）=2，即1+a=2，解得a=1，这时f（x）=x2+
．…
任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，…
则f（x1）-f（x2）=
=
，…
由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1+x2＞
，…
所以f（x1）＜f（x2），…
故f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数．…
分析：（1）利用函数奇偶性的定义进行判断，要对a进行分类讨论．（2）由f（1）=2，确定a的值，然后利用单调性的定义进行判断和证明．
点评：本题主要考查函数奇偶性好单调性的应用，要使熟练掌握函数奇偶性和单调性的应用．
当a≠0时，f（x）=x2+
（x≠0，常数a∈R），取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0；f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f （-1）≠-f （1），f （-1）≠f （1）．…
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…
（2）若f（1）=2，即1+a=2，解得a=1，这时f（x）=x2+
．…任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，…
则f（x1）-f（x2）=
=，…由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1+x2＞
，…所以f（x1）＜f（x2），…
故f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数．…
分析：（1）利用函数奇偶性的定义进行判断，要对a进行分类讨论．（2）由f（1）=2，确定a的值，然后利用单调性的定义进行判断和证明．
点评：本题主要考查函数奇偶性好单调性的应用，要使熟练掌握函数奇偶性和单调性的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|