题目内容
如图，某旅游区拟在公路l（南北向）旁开发一个抛物线形的人工湖，湖沿岸上每一点到公路l的距离与到A处的距离相等，并在湖中建造一个三角形的游乐区，三个顶点都在湖沿岸上，直线通道MN经过A．经测算，A在公路l正东方向200m处，C在A的正西方向100m处．现以点C为坐标原点，以线段CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的方程；
（2）试判断是否存在直线通道MN，使得三角形的游乐区的面积为20000
| 2 |
分析：（1）由题意可设抛物线的标准方程，且得到p，则抛物线的方程可求；
（2）假设存在直线通道MN，使得三角形的游乐区的面积为20000
m2，设出MN所在直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到M，N两点的纵坐标的和与积，代入三角形面积公式后可求出直线方程，说明假设成立．
（2）假设存在直线通道MN，使得三角形的游乐区的面积为20000
| 2 |
解答：解：（1）依题意，设所求的抛物线方程为y2=2px（p＞0），
∵抛物线的焦点A（100，0），
∴
=100，所求的方程为y2=400x；
（2）解法1：设点M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线MN的方程为x-100=ny，
联立
消去x，得到y2-400ny-40000=0，∴y1+y2=400n，y1•y2=-40000，
∴|y1-y2|=
=
=400
，
∴S△MNC=
|CA|•|y1-y2|=
×100×400
=20000
=20000
，
∴当n=±1时，S△MNC=20000
m2．
答：存在两条MN的直线通道使面积是20000
m2．
解法2：设点M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
①当直线的斜率k不存在时，
直线MN的方程为x=100，S△MNC=20000；
②当直线的斜率k存在时，
设直线MN的方程为y=k（x-100），易知k≠0，
联立
消去x，得到y2-
-40000=0，
∴y1+y2=
，y1•y2=-40000，
∴|y1-y2|=
=
=400
，
∴S△MNC=
|CA|•|y1-y2|=
×100×400
=20000
=20000
，
综合①与②可知，当 直线MN的斜率k=±1时，S△MNC取到20000
m2．
答：存在两条MN的直线通道使面积是20000
m2．
∵抛物线的焦点A（100，0），
∴
| p |
| 2 |
（2）解法1：设点M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线MN的方程为x-100=ny，
联立
|
∴|y1-y2|=
| (y1+y2)2-4y1y2 |
| 160000n2+160000 |
| n2+1 |
∴S△MNC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| n2+1 |
| n2+1 |
| 2 |
∴当n=±1时，S△MNC=20000
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答：存在两条MN的直线通道使面积是20000
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解法2：设点M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
①当直线的斜率k不存在时，
直线MN的方程为x=100，S△MNC=20000；
②当直线的斜率k存在时，
设直线MN的方程为y=k（x-100），易知k≠0，
联立
|
| 400y |
| k |
∴y1+y2=
| 400 |
| k |
∴|y1-y2|=
| (y1+y2)2-4y1y2 |
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∴S△MNC=
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| 1 |
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综合①与②可知，当 直线MN的斜率k=±1时，S△MNC取到20000
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答：存在两条MN的直线通道使面积是20000
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点评：本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，利用方程的根与系数的关系，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．
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（南北向）旁开发一个抛物线形的人工湖，湖沿岸上每一点到公路
处的距离相等，并在湖中建造一个三角形的游乐区
，三个顶点
都在湖沿岸上，直线通道
经过
米处，
在
米处，现以点
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，
？并作说明．
