Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，x=2是方程f（x）=0的一个根，求证：f（1）≤-2．

Answer 1

解：∵f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）
∴f'（x）=-3x²+2ax=-x（3x-2a）．
（1）若a＞0，令f'（x）=0得x₁=0，x₂=，则

∴f（x）的单调增区间为：（0，），单调递减区间为：（-∞，0），（，+∞）

（2）若a=1，由（1）可得f（x）在上单调递增，
则时，f（x）＞f（0）=b
∴f（x）的图象不可能总在直线y=b的下方．
（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，则x∈[0，2]时f'（x）=-3x²+2ax≥0恒成立．
即对x∈[0，2]恒成立，
∴a≥3．
又f（2）=0，
∴-8+4a=b+0得b=8-4a，
∴f（1）=-1+a+b=7-3a≤-2．
分析：（1）三次多项式函数的单调性问题，先求导，令f′（x）≥0和f′（x）≤0，解不等式即可．
（2）结合（1）问中函数的性质求解．
（3）由f（x）在[0，2]上是增函数可求出a的范围，x=2是方程f（x）=0的一个根，找出a和b的关系，可证．
点评：本题考查函数单调性的判断及应用、分类讨论思想，综合性较强．