Question

已知x=0是函数f（x）=（x²+bx）e^x的一个极值点．
（1）求f（x）；
（2）若不等式f（x）＞ax³在[，2]内有解，求实数a的取值范围；
（3）函数y=f（x）在x=a_n（a_n＞0，n∈N^*）处的切线与x轴的交点为（a_n-a_n+1，0）．若a₁=1，b_n=

1

an

+2，问是否存在等差数列{c_n}，使得b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+n²+2n+2对n∈N^*都成立？若存在求出{c_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=[x²+（6+2）x+b]e^x和的性质知极值点，f′（x）=0，得b=0，由此能求出f（x）；
（2）由x²e^x＞ax³在[，2]内有解，知a＜

ex

x

在[，2]内有解，令g（x）=

ex

x

，x∈[

1

2

，2]，则只要a＜（g（x））_max．再由导数的性质能求出a的范围．
（3）由题设知函数y=f（x）在x=a_n处的切线方程为y-

a

2 n

ean=(

a

2 n

+2an)ean(x-an)，由切线与x轴的交点为（a_n-a_n+1，0），所以a_n=a_na_n+1+2a_n+1．由此得b_n+1=2b_n-1，b_n=2ⁿ+1，由此能够导出存在等差数列{c_n}对n∈N^*都有b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+n²+2n+2．

解答：解：（1）∵f′（x）=[x²+（6+2）x+b]e^x，
又x=0是函数f（x）=（x²+bx）e^x的一个极值点，
∴f′（x）=0，得b=0，故f（x）=x²e^x（2分）
（2）∵不等式f（x）＞ax³在[，2]内有解，即x²e^x＞ax³在[，2]内有解，
∴a＜

ex

x

在[，2]内有解，令g（x）=

ex

x

，x∈[

1

2

，2]，
则只要a＜（g（x））_max．（3分）
∵g′（x）=

xex-e2

x2

=

ex(x-1)

x2

，
∴g（1）=e是该函数的最小值；
∵g（

1

2

）=2

e

，g（2）=

1

2

ex，g（2）＞g（

1

2

），
∴a的取值范围为（-∞，

1

2

e2）（5分）
（3）∵f（x）=x²e^x，f′（x）=（x²+2x）e^x
∴函数y=f（x）在x=a_n处的切线方程为y-

a

2 n

ean=(

a

2 n

+2an)ean(x-an)
∵切线与x轴的交点为（a_n-a_n+1，0），
∴0-

a

2 n

ean=(

a

2 n

+2an)ean[(an-an+1)-an]
化简得a_n=a_na_n+1+2a_n+1．（7分）
∵a₁=1，b_n=

1

an

+2，∴b₁=3，

1

an

=b_n-2
∴b_n+1-2=1+2b_n，整理得b_n+1=2b_n-1，
即b_n+1-1=2（b_n-1），∴{b_n-1}是公比为2，首项为2的等比数列，
∴b_n-1=（b₁-1）2^n-1，即b_n=2ⁿ+1．（9分）
假设存在等差数列{c_n}对n∈N^*都有b₁c₁+b₂c₂++b_nc_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+n²+2n+2①
当n≥2时有b₁c₁+b₂c₂++b_n-1c_n-1=2ⁿ（2n-3）+n²+1②
①-②得b_nc_n=2ⁿ（2n+1）+2n+1，即（2ⁿ+1）c_n=2ⁿ（2n+1）+2n+1，
∴当n≥时有，c_n=2n+1，
当n=1时，b₁c₁=9，而b₁=3，∴c₁=3也适合c_n=2n+1．
故{c_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
即存在等差数列{c_n}对n∈N^*都有
b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+n²+2n+2．（13分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．