Question

【题目】设函数，其中.

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）当时，证明：函数不可能存在两个零点.

Answer 1

【答案】(1) 存在极小值，不存在极大值.

(2)证明见解析.

【解析】分析：(Ⅰ)由题意得，因为，所以，进而得出函数的单调性，求解函数的极值；

(Ⅱ)由方程，得，由，得，得出函数的单调性与极值，即可判定函数至多在区间存在一个零点，得出结论.

详解：(Ⅰ)解：求导，得，

因为，所以，

所以当时，，函数为减函数；

当时，，函数为增函数.

故当时，存在极小值，不存在极大值.

(Ⅱ)证明：解方程，得.

由，得.

随着的变化，与的变化情况如下表：

		1
	+	0	-	0	+
		极大值		极小值

所以函数在，上单调递增，在上单调递减.

又因为，

所以函数至多在区间存在一个零点；

所以，当时函数不可能存在两个零点.