Question

18．已知函数y=$\frac{{x}^{2}-x+2}{x-1}$求
（1）当x＞1时，求最值；
（2）当x＜1时，求最值；
（3）当2≤x≤3时，求最值．

Answer 1

分析 （1）将函数变形，由基本不等式即可得到最小值；
（2）将函数变形，注意x＜1，由基本不等式即可得到最大值；
（3）运用基本不等式可得最小值，再由端点处的函数值，即可得到最大值．

解答 解：（1）函数y=$\frac{{x}^{2}-x+2}{x-1}$=x+$\frac{2}{x-1}$（x＞1）
=x-1+$\frac{2}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{2}{x-1}}$+1
=1+2$\sqrt{2}$，
当且仅当x=1+$\sqrt{2}$，函数取得最小值1+2$\sqrt{2}$；
（2）函数y=$\frac{{x}^{2}-x+2}{x-1}$=x+$\frac{2}{x-1}$（x＜1）
=x-1+$\frac{2}{x-1}$+1≤-2$\sqrt{（x-1）•\frac{2}{x-1}}$+1=1-2$\sqrt{2}$，
当且仅当x=1-$\sqrt{2}$，函数取得最大值1-2$\sqrt{2}$；
（3）函数y=$\frac{{x}^{2}-x+2}{x-1}$=x+$\frac{2}{x-1}$（2≤x≤3）
=x-1+$\frac{2}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{2}{x-1}}$+1
=1+2$\sqrt{2}$，
当且仅当x=1+$\sqrt{2}$∈[2，3]，函数取得最小值1+2$\sqrt{2}$；
当x=2时，y=3；当x=3时，y=4．
则函数的最大值为4．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．