题目内容
已知椭圆E：
+y2=1(a＞1)的上顶点为M（0，1），两条过M点动弦MA、MB满足MA⊥MB．
（1）当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求此时椭圆E的方程；
（2）若直角三角形MAB的面积的最大值为
，求a的值；
（3）对于给定的实数a（a＞1），动直线是否经过一个定点？如果经过，求出该定点的坐标（用a表示）否则，说明理由．
| x2 |
| a2 |
（1）当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求此时椭圆E的方程；
（2）若直角三角形MAB的面积的最大值为
| 27 |
| 8 |
（3）对于给定的实数a（a＞1），动直线是否经过一个定点？如果经过，求出该定点的坐标（用a表示）否则，说明理由．
分析：（1）求出坐标原点到椭圆E的准线距离最短时c=1，利用a2=b2+c2，即可求得椭圆E的方程；
（2）设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为y=-
x+1，分别代入椭圆E的方程，求得A、B的坐标，从而可求直角三角形MAB的面积，利用最大值为
，可求a的值；
（3）由（2）知直线l的斜率，从而可求直线l的方程，由此可得直线l过定点．
（2）设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为y=-
| 1 |
| k |
| 27 |
| 8 |
（3）由（2）知直线l的斜率，从而可求直线l的方程，由此可得直线l过定点．
解答：解：（1）坐标原点到椭圆E的准线距离为d=
=
≥2，当且仅当c=1时，坐标原点到椭圆E的准线距离最短
∵c=1，b=1，∴a2=b2+c2，∴a2=2
∴椭圆E的方程为
+y2=1
（2）由MA⊥MB，可知直线MA与坐标轴不垂直，
故可设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为y=-
x+1
将y=kx+1代入椭圆E的方程，整理得 （1+a2k2）x2+2a2kx=0
解得x=0或x=
，故点A的坐标为(
，
)
同理，点B的坐标为(
，
)
∴S=
×
=
=2a4×
=2a4×
=
≤
=
=
，
解得a=3
（3）由（2）知直线l的斜率为
=
直线l的方程为y=
(x-
)+
，即y=
x-
∴直线l过定点(0，-
)
| a2 |
| c |
| c2+1 |
| c |
∵c=1，b=1，∴a2=b2+c2，∴a2=2
∴椭圆E的方程为
| x2 |
| 2 |
（2）由MA⊥MB，可知直线MA与坐标轴不垂直，
故可设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为y=-
| 1 |
| k |
将y=kx+1代入椭圆E的方程，整理得 （1+a2k2）x2+2a2kx=0
解得x=0或x=
| -2a2k |
| 1+a2k2 |
| -2a2k |
| 1+a2k2 |
| 1-a2k2 |
| 1+a2k2 |
同理，点B的坐标为(
| 2a2k |
| k2+a2 |
| k2-a2 |
| k2+a2 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1+k2 |
| 2a2|k| |
| 1+a2 |
1+
|
| 2a2|k| |
| k2+a2 |
| 2a4(k2+1)|k| |
| (1+a2k2)(k2+a2) |
|k|+
| ||
(1+a2k2)(1+
|
=2a4×
| t |
| (1+a4)+a2(t2-2) |
| 2a4 | ||
|
| 2a4 |
| 2a(a2-1) |
| a3 |
| a2-1 |
| 27 |
| 8 |
解得a=3
（3）由（2）知直线l的斜率为
| ||||
|
| k2-1 |
| (a2+1)k |
直线l的方程为y=
| k2-1 |
| (a2+1)k |
| 2a2k |
| k2+a2 |
| k2-a2 |
| k2+a2 |
| k2-1 |
| (a2+1)k |
| a2-1 |
| a2+1 |
∴直线l过定点(0，-
| a2-1 |
| a2+1 |
点评：本题考查椭圆方程，考查三角形的面积，考查直线过定点，解题的关键是正确求出三角形的面积、直线的方程．
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