Question

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠C＝90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD＝3DC，△ABC的周长为12.若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．

(1) 求双曲线E的方程；

(2) 若一过点P(m,0)(m为非零常数)的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N ，且问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，则B(－c,0)，D(a,0)，C(c,0)．

由BD＝3DC，得c＋a＝3(c－a)，得c＝2a.

∴

解之得a＝1，∴c＝2，b＝.

∴双曲线E的方程为x²－＝1.

(2)设在x轴上存在定点G(t,0)，使

设直线l的方程为x－m＝ky，M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．

得y₁＋λy₂＝0.

即λ＝－①

即ky₁＋m－t＝λ(ky₂＋m－t)．②

把①代入②，得2ky₁y₂＋(m－t)(y₁＋y₂)＝0③

把x－m＝ky代入x²－＝1并整理得(3k²－1)y²＋6kmy＋3(m²－1)＝0

其中3k²－1≠0且Δ>0，即k²≠且3k²＋m²>1.

代入③，得＝0，

化简得kmt＝k，当t＝时，上式恒成立．

因此，在x轴上存在定点

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