Question

设函数f（x）=a^x-x（a＞0，a≠1）
（1）若a=e（e是自然对数的底数），求f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数y=f（|x|）在全体实数R上恰有4个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=e^x-x，则f′（x）=e^x-1…（2分）
当f′（x）＞0时，解得x＞0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，
当f′（x）＜0时，解得x＜0，f（x）在（-∞，0]上单调递减．…（2分）
所以x=0是极小值点，f_极小值=f（0）=1…（2分）
（2）函数y=f（|x|）是偶函数，要使它在全体实数R上恰有4个零点，只须y=f（x）在（0，+∞）上有2个零点，…（2分）
要使方程a^x=x在（0，+∞）有2解，则有lna=

lnx

x

在（0，+∞）有2解，…（2分）
设g(x)=

lnx

x

，则g′(x)=

1-lnx

x2

…（1分）
当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，且0＜g(x)＜

1

e

当0＜x≤e时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，且g(x)≤

1

e

…（4分）
根据图象可知0＜lna＜

1

e

，
∴1＜a＜e

1

e

…（2分）