Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足A+C=3B，cos（B+C）=-

3

5

．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）由A+C=π-B=3B?B=

π

4

，---------------（1分）
所以cos(B+C)=cos(

π

4

+C)=-

3

5

，--------------（2分）
因为sin(B+C)=sin(

π

4

+C)=

1-cos2( π 4 +C)

=

4

5

，-------------（4分）
所以sinC=sin[(

π

4

+C)-

π

4

]=sin(

π

4

+C)cos

π

4

-cos(

π

4

+C)sin

π

4

=

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

=

7 2

10

．-----（7分）
（Ⅱ）由已知得sinA=sin(B+C)=

1-cos2(B+C)

=

4

5

，-------------（8分）
因为a=5 ， B=

π

4

 ， sinC=

7 2

10

，
所以由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得

b

2 2

=

c

7 2 10

=

5

4 5

=

25

4

，
解得b=

25 2

8

 ， c=

35 2

8

．-----------------（12分）
所以△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×5×

25 2

8

×

7 2

10

=

175

16

．----------（14分）