Question

已知a、b是不相等的两个正数，在a、b之间插入两组数x₁，x₂，…x_n和y₁，y₂，…y_n（n∈N^﹢，且n≥2），使得a，x₁，x₂，…x_n，b成等差数列，a，y₁，y₂，…y_n，b成等比数列，则下列四个式子中，一定成立的是

①②

．（填上你认为正确的所有式子的序号）
①

n

k=i

xi=

n(a+b)

2

；②

1

n

n

k=i

xi=

a+b

2

＞

ab

+(

a - b

2

)2；③

n	y1y2…yn

=

ab

；④

n	y1y2…yn

＞

2ab

a+b

．

Answer 1

分析：先根据等差数列的性质和均值不等式可判断①②正确，再由等比数列的性质可判断③④不正确．

解答：解：依题意可知，a，x₁，x₂，…，x_n，b成等差数列，则x₁+x₂+…+x_n=

(x1+xn)•n

2

∵x₁+x_n=a+b
∴

n

k=1

xk=

n(a+b)

2

成立，故①正确；
∴

1

n

n

k=1

xk=

a+b

2

＞

ab

+(

a - b

2

)2
∴②成立
当a=y₁=y₂=…=y_n=b时，

n	y1y2…yn

=

ab

，当a，y₁，y₂，…，y_n，b不相等时，

n	y1y2…yn

＞

ab

，
故③④不正确；
故答案为：①②

点评：本题以数列为载体，考查数列与不等式的综合，主要考查等差数列的性质、等比数列的性质和均值不等式的知识．考查综合运用能力．