Question

已知a，b是不相等的正实数，求证：（a²b+a+b²）（ab²+a²+b）＞9a²b²．

Answer 1

分析：根据所给的a，b是正数，把不等号的左边的两个因式，分别使用均值不等式，注意等号成立的条件，把所得的两个均值不等式相乘，整理成最简形式，就是不等式右边的部分，由a，b是不相等的正实数得到等号不能成立．

解答：证明：∵a，b是正实数，
∴a2b+a+b2≥3

3	a2b•a•b2

=3ab＞0
（当且仅当a²b=a=b²即a=b=1时，等号成立）
同理：ab2+a2+b≥3

3	ab2•a2•b

=3ab＞0
（当且仅当ab²=a²=b即a=b=1时，等号成立）
∴（a²b+a+b²）（ab²+a²+b）≥9a²b²．
（当且仅当ab²=a²=b即a=b=1时，等号成立）
∵a≠b，
∴（a²b+a+b²）（ab²+a²+b）＞9a²b²．

点评：本题考查均值不等式，考查均值不等式等号成立的条件，考查不等式的基本性质，是一个综合题目，这种题目在大型考试中单独出现的机会没有，但是可以作为综合题目的一个知识的出现．