Question

若直线y=x+k与曲线x=

1-y2

恰有一个公共点，则k的取值范围是（　　）

• A、k=±

  2

• B、[

  2

  ，+∞)∪(-∞，-

  2

  ]
• C、(-

  2

  ，

  2

  )
• D、k=-

  2

  或(-1，1]

Answer 1

分析：把直线和曲线的图象画出来，如图所示，得到曲线为一个半个单位圆，根据直线y=x+k与曲线x=

1-y2

恰有一个公共点由图象即可求出k的取值范围．

解答：
解：根据图象可知：半圆的圆心坐标为（0，0），半径r=1，
当直线y=x+k与y轴的交点的纵坐标在（-1，1]时，直线y=x+k与曲线x=

1-y2

恰有一个公共点，
即k∈（-1，1]；
当直线y=x+k与半圆在第四象限相切时，直线y=x+k与曲线x=

1-y2

恰有一个公共点，
所以圆心到直线的距离d=

|k|

2

=1，解得k=

2

（舍去）或k=-

2

，
综上，k的取值范围是：k=-

2

或k∈（-1，1]．
故选D

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．根据题意画出函数图象是解本题的关键．