Question

若直线y=kx+1与曲线x=

1-4y2

有两个不同的交点，则k的取值范围是

（-∞，-

3

2

）

．

Answer 1

分析：直线y=kx+1是过定点（0，1），斜率为k的动直线，曲线x=

1-4y2

的形状是椭圆x²+4y²=1的右半部分，数形结合可知要使直线y=kx+1与曲线x=

1-4y2

有两个不同的交点，需求直线与椭圆相切时的斜率，将直线代入椭圆方程，由△=0即可得此斜率，最后数形结合写出结果

解答：解：曲线x=

1-4y2

的形状是椭圆x²+4y²=1的右半部分
直线y=kx+1是过定点（0，1），斜率为k的动直线，
数形结合可知当直线与椭圆x²+4y²=1的右半部分相切时，斜率最大，此时将直线顺时针旋转至与y轴重合时，直线y=kx+1与曲线x=

1-4y2

有两个不同的交点，
将y=kx+1代入x²+4y²=1得（1+4k²）x²+8kx+3=0，由△=64k²-12（1+4k²）=0，得k=-

3

2

∴直线y=kx+1与曲线x=

1-4y2

有两个不同的交点时k的取值范围是（-∞，-

3

2

）
故正确答案为（-∞，-

3

2

）

点评：本题考查了椭圆的标准方程的识别，直线与椭圆相交相切的判定，考查了数相结合的思想方法，属基础题