题目内容

设{an}（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，若
OB
=a2
OA
+a2013
OC
，且A，B，C三点共线（该直线不过原点O），则S2014=（　　）
A、2014
B、1007
C、21014
D、2-2014
分析：根据A，B，C三点共线，得到a2+a2013=1，然后根据等差数列的前n项和公式，即可得到结论．
解答：解：∵
OB
=a2
OA
+a2013
OC
，且A，B，C三点共线，
∴a2+a2013=1，
则等差数列中a2+a2013=a1+a2014=1，
∴S2014=
2014(a1+a2014)
2
=
2014×1
2
 =1007，
故选：B．
点评：本题主要考查等差数列的性质以及前n项和公式的计算，利用三点共线得到a2+a2013=1是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
设{an}，{bn}是两个数列，M（1，2），An(2，an)，Bn(
n-1
n
，
2
n
)为直角坐标平面上的点．对n∈N*，若三点M，An，B共线，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：log2cn=
a1b1+a2b2+…+anbn
a1+a2+…+an
，其中{cn}是第三项为8，公比为4的等比数列．求证：点列P1（1，b1），P2（2，b2），…Pn（n，bn）在同一条直线上；
（3）记数列{an}、{bn}的前m项和分别为Am和Bm，对任意自然数n，是否总存在与n相关的自然数m，使得anBm=bnAm？若存在，求出m与n的关系，若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=2x3-2x2+x+
1
2
．
（1）求证：f（x）在R上是增函数；
（2）设a1=0，an+1=
1
2
f(an) （n∈N+），b1=
1
2
，bn+1=
1
2
f(bn) （n∈N+）．
①用数学归纳法证明：0＜an＜bn＜
1
2
（n＞1，n∈N）；
②证明：bn+1-an+1＜
bn-an
2
 （n∈N）．
数列{an}满足a1=2，an+1=
2n+1an
(n+
1
2
)an+2n
(n∈N*)．
（1）设bn=
2n
an
，求数列{bn}的通项公式；
（2）设cn=
1
n(n+1)an+1
，数列{cn}的前n项和为Sn，求出Sn并由此证明：
5
16
≤Sn＜
1
2
．
（2012•扬州模拟）已知等差数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，首项a1=1．
（Ⅰ）若
S1
+
S3
=2
S2
，求S5；
（Ⅱ）若数列{an}中存在两两互异的正整数m、n、p同时满足下列两个条件：①m+p=2n；②
Sm
+
Sp
=2
Sn
，求数列的通项an；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{an}，设bn=3•(
1
2
)an（n∈N*），集合Tn={bi•bj|1≤i≤j≤n，i，j∈N*}，记集合Tn中所有元素之和Bn，试问：是否存在正整数n和正整数k，使得不等式
1
bnBn-k
+
1
k-bn+1Bn+1
＞0成立？若存在，请求出所有n和k的值；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)•f(y)，且f(1)=
1
2
．
（1）当x∈N+时，求f（n）的表达式；
（2）设an=nf(n)
 (n∈N+)
，求证：a1+a2+…+an＜2；
（3）设bn=
nf(n+1)
f(n)
 &(n∈N+)，Sn=b1
+b2+…+bn，求
lim
n→∞
(
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
)．

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