Question

选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ-

π

6

）=a截得的弦长为2

3

，求实数a的值．

Answer 1

分析：先将圆与直线的极坐标方程化为普通方程，并求出r及圆心到直线的距离，利用r2=d2+(

l

2

)2即可求出答案．

解答：解：∵圆C：ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，∴x²+y²=4x，
即圆C的直角坐标方程为（x-2）²+y²=4，∴圆心C（2，0），半径r=2．
∵直线l：ρsin（θ-

π

6

）=a，展开得ρ(

3

2

sinθ-

1

2

cosθ)=a，∴

3

y-x=2a，
 即 直线l的直角坐标方程为x-

3

y+2a=0．
 所以圆心C到直线l的距离d=

|2×1-0+2a|

12+( 3 )2

=|1+a|．
因为圆C被直线l截得的弦长为2

3

，所以r²-d²=(

2 3

2

)2．
即4-（1+a）²=3，化为a²+2a=0，
解得a=0，或a=-2．  
故实数a的值为0，或-2．

点评：本题考查了极坐标方程化为普通方程直线与圆相交弦长问题，正确化简及充分利用r2=d2+(

l

2

)2是解题的关键．当然也可以利用弦长公式去求．