Question

已知空间直角坐标系0-xyz中的动点P（x，y，z）满足：x+

2

y+z=1，则|OP|的最小值等于

1

2

．

Answer 1

分析：根据题意，动点P与原点在平面x+

2

y+z=1内的射影重合时，|OP|取得最小值．再求经过原点与平面x+

2

y+z=1垂直的直线与平面x+

2

y+z=1的交点Q，利用距离公式求出OQ的长，即可得到|OP|取得最小值．

解答：解：∵P（x，y，z）是平面x+

2

y+z=1内的点，
∴点P与原点在平面x+

2

y+z=1内的射影重合时，|OP|取得最小值
过原点与平面x+

2

y+z=1垂直的直线方向向量为

a

=（1，

2

，1）
∴过原点与平面x+

2

y+z=1垂直的直线方程为：

x

1

=

y

2

=

z

1

直线方程与平面方程联解，得原点在平面x+

2

y+z=1内的射影点为Q（

1

4

，

2

4

，

1

4

）
∵|OQ|=

( 1 4 )2+( 2 4 )2+( 1 4 )2

=

1

2

∴动点P与Q重合时，|OP|取得最小值为

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题给出平面上动点，求该点到原点距离的最小值，着重考查了空间两点的距离和平面垂线的求法等知识，属于基础题．