Question

已知正四棱锥的侧棱和底面所成的角为α，侧面和底面所成的角为β，两相邻侧面所成的角为γ，求证：

（1）cotα·tanβ=；

（2）sinα·tan=1.

Answer 1

证明：（1）如右图设正四棱锥的高SO=h，底面边长为a，连OC，则∠SCO=α.取AB的中点E，连结SE、OE，则∠SEO=β.

∵tanβ=,cotα=,

∴cotα·tanβ=.

（2）过B作BF⊥SC于F，连结DF，易证：DF⊥SC，

∴∠BFD=γ.

连结OF，则∠BFO=，且OF⊥BD.

∵sinα=,tan=，

又OB=OC，∴sinα·tan=1.