题目内容

设向量
m
=(cosx，sinx)，x∈（0，π），
n
=(1， 
3
)．
（1）若|
m
-
n
|=
5
，求x的值；
（2）设f(x)=(
m
+
n
)•
n
，求函数f（x）的值域．
分析：（1）通过|
m
-
n
|=
5
建立关于x的方程，即可求得x的值．（
2）利用向量的数量积的坐标运算与两角和的正弦公式，得f（x）得解析式，然后结合x∈（0，π）的函数的值域．
解答：解：（1）∵
m
-
n
=(cosx-1， sinx-
3
)
由|
m
-
n
|=
5
得cos2x-2cosx+1+sin2x-2
3
sinx+3=5
整理得cosx=-
3
sinx
显然cosx≠0∴tanx=-
3
3

∵x∈（0，π），∴x=
5π
6


（2）∵
m
+
n
=(cosx+1， sinx+
3
)，
∴f(x)=(
m
+
n
)•
n
=(cosx+1， sinx+
3
)•(1，
3
)=cosx+1+
3
sinx+3
=2(
3
2
sinx+
1
2
cosx)+4=2sin(x+
π
6
)+4
∵0＜x＜π∴
π
6
＜x+
π
6
＜
7π
6

∴-
1
2
＜sin(x+
π
6
)≤1?-1＜2sin(x+
π
6
)≤2
∴3＜2sin(x+
π
6
)+4≤6
即函数f（x）的值域为（3，6]．
点评：本题考查了正弦函数的定义域和值域，以及平面向量数量积的坐标运算，是个典型的向量与三角结合的问题，是个中档题．
练习册系列答案
相关题目
设向量
m
=(cosx，  sinx)，
n
=(2
2
+sinx，2
2
-cosx)，若f(x)=
m
•
n

求：（1）f（x）的单调递增区间
（2）若θ∈(-
3π
2
，  -π)，且f（θ）=1，求sin(θ+
5π
12
)的值．
已知向量
m
=(cosx，sinx)，
n
=(cosx，cosx)，设函数f(x)=
m
•
n

（I）求f（x）的解析式，并求最小正周期；
（II）若函数g（x）的图象是由函数f（x）的图象向右平移
π
8
个单位得到的，求g（x）的最大值及使g（x）取得最大值时x的值．
（2009•温州一模）已知向量
m
=(cosx，-sinx)，
n
=(cosx，sinx-2
3
cosx)，x∈R，设f(x)=
m
•
n
．
（I）求函数f（x）的最小正周期．
（II）x∈[
π
4
，
π
2
]，求f（x）的值域．
设向量
m
=(cosx，sinx)，x∈（0，π），
n
=(1， 
3
)．
（1）若|
m
-
n
|=
5
，求x的值；
（2）设f(x)=(
m
+
n
)•
n
，求函数f（x）的值域．

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