Question

设向量

m

=(cosx，  sinx)，

n

=(2

2

+sinx，2

2

-cosx)，若f(x)=

m

•

n

求：（1）f（x）的单调递增区间
（2）若θ∈(-

3π

2

，  -π)，且f（θ）=1，求sin(θ+

5π

12

)的值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的向量的坐标和数量积公式，整理出关于x的关系式，利用辅角公式把三角函数式变化成最简单形式，应用正弦函数的单调性求出函数的单调性．
（2）根据所给的等式，得到角的关系式，根据角的范围利用同角的三角函数关系，得到要用的角的三角函数值，把要求的角的三角函数变化，假期哦的变化时本题的重点．

解答：解：（1）∵向量

m

=(cosx，  sinx)，

n

=(2

2

+sinx，2

2

-cosx)，
∴f(x)=

m

•

n

=cosx（2

2

+sinx）+sinx（2

2

-cosx）
=2

2

cosx+cosxsinx+2

2

sinx-sinxcosx
=2

2

（cosx+sinx）
∴f(x)=4sin(x+

π

4

)，
∴x+

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]
∴单调增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

  ](k∈z)
（2）∵θ∈(-

3π

2

，  -π)，
∴f（θ）=4sin（θ+

π

4

）=1
∴sin（θ+

π

4

）=

1

4

∵θ+

π

4

∈(-

5π

4

，-

3π

4

)
∴cos(θ+

π

4

)=-

15

4

∴sin（θ+

5π

12

）=sin[（θ+

π

4

）+

π

6

]=sin（θ+

π

4

）cos

π

6

+sin（θ+

π

4

）sin

π

6

，
∴sin(θ+

5π

12

)=

3 - 15

8

．

点评：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的．有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种．