Question

【题目】已知函数．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）函数在区间上有零点，求的值；

（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据导数几何意义求出切线斜率，由解析式求得切点坐标，从而得到切线方程；（2）由导数可得函数单调性，利用零点存在性定理可判断出在上有零点，从而得到结果；（3）整理出，可知为的两根，从而得到，；根据的范围可确定的范围后，将两式代入进行整理；构造函数，，利用导数可求得函数的最小值，该最小值即为的最大值.

（1）由题意得：

，

曲线在处切线为：，即

（2）由（1）知：

当时，；当时，

在上单调递减，在上单调递增

又，，

由零点存在定理知：在上有一个零点

在上单调递增 该零点为上的唯一零点

（3）由题意得：

为的两个极值点，即为方程的两根

，

，又，解得：

令，

则

在上单调递减

即

即实数的最大值为：