Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明A₁O⊥AC，利用平面AA₁C₁C⊥平面ABC，可得A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面AA₁B的一个法向量

n

=(-1，1，-

3

3

)，利用向量的夹角公式求出直线A₁C与平面A₁AB所成角，根据因为直线A₁C与平面A₁AB所成角θ和向量n与

A1C

所成锐角互余，可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：因为A₁A=A₁C，且O为AC的中点，
所以A₁O⊥AC．…（1分）
又由题意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，平面AA₁C₁C∩平面ABC=AC，且A₁O?平面AA₁C₁C
∴A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：如图，以O为原点，OB，OC，A₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意可知A₁A=A₁C=AC=2，
∵AB=BC，AB⊥BC
∴OB=

1

2

AC=1
∴O（0，0，0），A（0，-1，0），A₁（0，0，

3

），C（0，1，0），C₁（0，2，

3

），B（1，0，0）
则有：

A1C

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(1，1，0)．…（6分）
设平面AA₁B的一个法向量为

n

=（x，y，z），则有

n• AA1 =0 n• AB =0

，∴

y+ 3 z=0 x+y=0

，
令y=1，得x=-1，z=-

3

3

，所以

n

=(-1，1，-

3

3

)．…（7分）
∴cos＜

n

，

A1C

＞=

n • A1C

| n || A1C |

=

21

7

．…（9分）
因为直线A₁C与平面A₁AB所成角θ和向量n与

A1C

所成锐角互余，所以sinθ=

21

7

．…（10分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决空间角问题，正确求平面的法向量是关键，属于中档题．