题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（I）当x∈[0，3]时，求f（x）的值域；
（II）对于任意x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）= $数学公式$ 成立，求实数a的取值范围．

解：（I） $\text{[math]}$

∴函数f（x）的值域为[0，1]．
（II）设x∈[0，3]时，函数 $\text{[math]}$ 的值域为A，∵对于任意x₁∈[0，3]，
总存在x₁∈[0，3]，使f（x₀）= $\text{[math]}$ ，∴[0，1]⊆A∵g'（x）=ax²-a²=a（x²-a）
（1）当a＜0时，x∈（0，3）时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，3）上单调递减，
∴g（3）≤g（x）≤g（0）∵g（0）=0∴不满足[0，1]⊆A
（2）当a＞0时， $\text{[math]}$ ，
令g'（x）=0，∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （舍去）
①当 $\text{[math]}$ ＜3，即0＜a＜9时，如列表

∵ $\text{[math]}$ ，若[0，1]⊆A，
则 $\text{[math]}$ ∴1≤a≤2
②当 $\text{[math]}$ ≥3，即a≥9时，x∈（0，3）时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，3）上单调递减
∴g（3）≤g（x）≤g（0）∵g（0）=0，∴不满足[0，1]⊆A
综上，实数a的取值范围是1≤a≤2．
分析：（I）对函数f（x）求导，令导数f′（x）=0，求得函数f（x）的极值，然后和f（0）函数f（3）比较大小，最大的作为其最大值，最小的作为其最小值，从而求得f（x）的值域；
（II）对于任意x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）= $\text{[math]}$ 成立，转化为函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，下面求解函数函数g（x）的值域，求法同（I），列出关于a的不等式组，即可求得实数a的取值范围．
点评：考查应用导数研究函数的最值问题，特别问题（II）转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，在求函数g（x）的最值过程中，体现了分类讨论的思想，属难题．