Question

函数f（x）=

sinx

5+4cosx

（0≤x≤2π）的值域是（　　）

• A、[-

  1

  4

  ，

  1

  4

  ]
• B、[-

  1

  3

  ，

  1

  3

  ]
• C、[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ]
• D、[-

  2

  3

  ，

  2

  3

  ]

Answer 1

分析：本小题主要考查函数值域的求法，表达式中存在sinx和cosx两个不同的三角函数名需要统一为一个变量．

解答：解析：令

5+4cosx

=t (1≤t≤3)，则sin2x=

16-(t2-5)2

16

，
当0≤x≤π时，sinx=

16-(t2-5)2 16

=

-t4+10t2-9

4

，所以f(x)=

sinx

5+4cosx

=

-t4+10t2-9

4t

=

-(t2+ 9 t2 )+10

4

≤

-2 t2• 9 t2  +10

4

=

1

2

当且仅当t=

3

时取等号．同理可得当π＜x≤2π时，f(x)≥-

1

2

，
综上可知f（x）的值域为[-

1

2

，

1

2

]，
故选C

点评：sin²x+cos²x=1在三角部分是恒成立的式子，应用非常广泛，但要注意其范围（sinx和cos均为[-1，1]）的限制．