题目内容
【题目】（1）讨论函数
的单调性；
（2）证明：当
时，函数
有最小值.设
的最小值为
，求函数
的值域.
【答案】(1) 
在
单调递增，(2) 
的值域是
【解析】试题分析：（1）求出f（x）的定义域，对原函数求导，利用导函数恒大于等于0可得f（x）的单调性；
（2）求出
由（1）知， 
单调递增，又由函数零点存在定理可得存在唯一
，使得
，则当
时， 
， 
单调递减；当
时， 
， 
， 
单调递增.求出函数最小值，再由最小值为关于a的增函数可得
的值域.
试题解析：
（1）
的定义域为
，
当且仅当
时， 
，
所以
在
单调递增.
（2）
，
由（1）知， 
单调递增，
对任意
， 
， 
，
因此，存在唯一
，使得
，即
，
当
时， 
， 
单调递减；
当
时， 
， 
， 
单调递增.
因此
在
处取得最小值，最小值为
.
于是
，由
，知
单调递增
所以，由
，得
.
因为
单调递增，对任意
，存在唯一的
， 
，
使得
，所以
的值域是
，
综上，当
时， 
有最小值
， 
的值域是
.
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