Question

设函数f（x）=2cosx （cosx+

3

sinx）-1，x∈R
（1）求f（x） 最小正周期T；
（2）求 f（x） 单调递增区间；
（3）设点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n） （n∈N^*）在函数f（x）的图象上，且满足条件：x₁=

π

6

，x_n+1-x_n=

T

2

，求N_n=y₁+y₂+…+y_n 的值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式以及两角和把函数化简为一个角的一个三角函数的形式，
（1）直接利用周期公式求解即可．
（2）利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．
（3）点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n） （n∈N^*）在函数f（x）的图象上，且满足条件：x₁=

π

6

，x_n+1-x_n=

T

2

，推出n为奇数时P_n位于图象最高处，当n为偶数时P_n位于图象最低处，求出结果．

解答：解：函数f（x）=2cosx （cosx+

3

sinx）-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)（4分）
（1）T=

2π

2

=π．（3分）
（2）由2kp-

π

2

£2x+

π

6

£2kp+

π

2

，得：kp-

π

3

£x£kp+

π

6

（k?Z），
f（x）单调递增区间是[kp-

π

3

，kp+

π

6

]（k?Z）．（3分）
（3）∵x₁=

π

6

，x_n+1-x_n=

T

2

，
∴当n为奇数时P_n位于图象最高处，当n为偶数时P_n位于图象最低处，
∴当n为奇数时，N_n=2，
当n为偶数时，N_n=0．（4分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，单调增区间的求法，注意基本函数基本知识的应用．