Question

设实数b，c满足b²+c²=1，且f（x）=ax+bsinx+ccosx的图象上存在两条切线垂直，则a+b+c的取值范围是

[-

2

，

2

]

．

Answer 1

分析：先利用辅助角公式和b²+c²=1将函数f（x）化简为f（x）=ax+sin（x+φ），求出f′（x）=a+cos（x+φ），
根据f（x）=ax+bsinx+ccosx的图象上存在两条切线垂直，不妨设在x=m与x=n处的切线互相垂直，则由导数的几何意义，分别求出两条切线的斜率k₁=f′（m）=a+cos（m+φ），k₂=f′（n）=a+cos（n+φ），则[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=-1，化简为关于a的一元二次方程要有实数根，从而得到△≥0，再利用三角函数的有界性，即可得到cos（m+φ）=1，cos（n+φ）=-1或者cos（m+φ）=-1，cos（n+φ）=1，代入到[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=-1，求出a=0，将a+b+c的取值范围转化为求b+c的取值范围，根据b²+c²=1，利用基本不等式，求出bc的范围，结合（b+c）²=b²+c²+2bc=1+2bc，即可求出b+c的取值范围，从而得到a+b+c的取值范围．

解答：解：∵f（x）=ax+bsinx+ccosx
∴f（x）=ax+

b2+c2

sin（x+φ），
∵b²+c²=1，
∴f（x）=ax+sin（x+φ），
∴f′（x）=a+cos（x+φ），
∵f（x）=ax+bsinx+ccosx的图象上存在两条切线垂直，
设在x=m与x=n处的切线互相垂直，
则k₁=f′（m）=a+cos（m+φ），k₂=f′（n）=a+cos（n+φ），
∴k₁•k₂=-1，
即[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=-1，
∴关于a的二次方程a²+[cos（m+φ）+cos（n+φ）]a+cos（m+φ）cos（n+φ）+1=0有实数根，
∴△=[cos（m+φ）+cos（n+φ）]²-4×[cos（m+φ）cos（n+φ）+1]=[cos（m+φ）-cos（n+φ）]²-4≥0，
又∵-2≤cos（m+φ）-cos（n+φ）≤2，
∴[cos（m+φ）-cos（n+φ）]²≤4，即[cos（m+φ）-cos（n+φ）]²-4≤0，
∴[cos（m+φ）-cos（n+φ）]²-4=0
∴cos（m+φ）=1，cos（n+φ）=-1或者cos（m+φ）=-1，cos（n+φ）=1，
∵[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=-1，
∴a²-1=-1，
∴a=0，
根据基本不等式，则有b²+c²=1≥2

b2c2

=2|bc|（当且仅当b=c时取等号），
∴1≥2|bc|，即|bc|≤

1

2

，
∴-

1

2

≤bc≤

1

2

，
又（b+c）²=b²+c²+2bc=1+2bc，
∴0≤1+2bc≤2
∴0≤（b+c）²≤2，
∴-

2

≤b+c≤

2

，
∵a=0，
∴a+b+c=b+c，
∴a+b+c的取值范围即为b+c的取值范围为[-

2

，

2

]．
故答案为：[-

2

，

2

]．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，基本不等式在最值问题中的应用．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．属于中档题．