Question

（1）已知α，β都是锐角，且sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

，求证：α+β=

π

4

（2）已知cos（α-β）=-

4

5

，cos（α+β）=

4

5

，且(α-β)∈(

π

2

，π)，(α+β)∈(

3π

2

，2π)，求cos2α，cos2β的值．

Answer 1

分析：（1）由α，β都是锐角，根据sinα与sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与cosβ的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（α+β），将各自的值代入求出cos（α+β）的值，根据α+β是第一象限角，利用特殊角的三角函数值求出α+β的度数，得证；
（2）根据α+β与α-β的范围，以及cos（α+β）与cos（α-β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+β）与sin（α-β）的值，所求式子变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：（1）证明：∵α，β都是锐角，
∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，cosβ=

1-sin2β

=

3 10

10

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

2

2

，
∴α+β是第一、四象限角，
又∵0＜α+β＜π，
∴α+β=

π

4

；
（2）解：∵α+β∈（

3π

2

，2π），cos（α+β）=

4

5

，
∴sin（α+β）=-

1-cos2(α+β)

=-

3

5

，
又∵α-β∈（

π

2

，π），cos（α-β）=-

4

5

，
∴sin（α+β）=

1-cos2(α-β)

=

3

5

，
∴cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=-

7

25

，
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）=-1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．