题目内容
（1）已知x、y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2；
（2）若不等式|a-1|≥
+
+
对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．
（2）若不等式|a-1|≥
| 3x+1 |
| 3y+1 |
| 3z+1 |
分析：（1）利用作差法，因式分解，即可得到结论；
（2）根据柯西不等式证明
+
+
≤3
，利用|a-1|≥
+
+
对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，可得|a-1|≥3
，从而可求实数a的取值范围．
（2）根据柯西不等式证明
| 3x+1 |
| 3y+1 |
| 3z+1 |
| 2 |
| 3x+1 |
| 3y+1 |
| 3z+1 |
| 2 |
解答：（1）证明：由x3+y3-x2y-xy2=x2（x-y）+y2（y-x）=（x-y）（x2-y2）=（x-y）2（x+y）…（3分）
又x、y都是正实数，
∴（x-y）2≥0，x+y＞0，
∴x3+y3-x2y-xy2＞0，
∴x3+y3≥x2y+xy2；…（5分）
（2）解：由题意，根据柯西不等式有（
+
+
）2≤（12+12+12）[（
）2+（
）2+（
）2]=3[3（x+y+z）+3]=3×6=18，
∴
+
+
≤3
…（3分）
又|a-1|≥
+
+
对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，
∴|a-1|≥3
，
∴a≥3
+1或a≤1-3
，
∴a的取值范围是（-∞，1-3
]∪[1+3
，+∞）．…（5分）
又x、y都是正实数，
∴（x-y）2≥0，x+y＞0，
∴x3+y3-x2y-xy2＞0，
∴x3+y3≥x2y+xy2；…（5分）
（2）解：由题意，根据柯西不等式有（
| 3x+1 |
| 3y+1 |
| 3z+1 |
| 3x+1 |
| 3y+1 |
| 3z+1 |
∴
| 3x+1 |
| 3y+1 |
| 3z+1 |
| 2 |
又|a-1|≥
| 3x+1 |
| 3y+1 |
| 3z+1 |
∴|a-1|≥3
| 2 |
∴a≥3
| 2 |
| 2 |
∴a的取值范围是（-∞，1-3
| 2 |
| 2 |
点评：本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．
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