题目内容
已知矩阵A=
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| a |
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（1）求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量
| α1 |
| α2 |
（2）求A5
| α |
分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式f(λ)=
，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）利用特征向量的性质计算，先利用特征向量表示向量
，后将求A5
的值的问题转化成求有关特征向量的计算问题．
|
（2）利用特征向量的性质计算，先利用特征向量表示向量
| α |
| α |
解答：解：（1）矩阵A的特征多项式为f(λ)=
=λ2-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，
当λ1=2时，得
=
，当λ2=3时，得
=
．（7分）
（2）由
=m
+n
得
，得m=3，n=1．
∴A5
=A5(3
+
)=3(A5
)+A5
=3(
)+
=3×25
+35
=
．（15分）
|
令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，
当λ1=2时，得
| α1 |
|
| α2 |
|
（2）由
| α |
| α1 |
| α2 |
|
∴A5
| α |
| α1 |
| α2 |
| α1 |
| α2 |
| λ | 5 1 |
| α1 |
| λ | 5 2 |
| α2 |
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点评：本题主要考查了特征值与特征向量的计算以及利用特征向量求向量乘方的问题，属于向量中的基础题．
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（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．