Question

已知不相等的正数a,b,c成等差数列，当n＞1且n∈N时，试证明aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

Answer 1

证明：（1）当n=2时，∵a²+c²＞2()²=2b²,即命题成立.

（2）设当n=k(k≥2)时，有a^k+c^k＞2b^k.

由于a,c为正数，所以(a^k-c^k)与a-c同号，即（a^k-c^k）(a-c)＞0,亦即a^k+1+c^k+1＞a^kc+ac^k,

∴a^k+1+c^k+1=12(a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1)＞(a^k+1+c^k+1+a^kc+ac^k)

=(a^k+c^k)(a+c)=(a^k+c^k)b＞2b^k+1,

即n=k+1时成立.

由（1）、（2）,知对于n＞1且n∈N时命题成立.