Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n，数列{b_n}是公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，且b₄是b₂与b₆+1的等比中项，b_n=$\frac{{S}_{n}}{3n-1}$（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=（$\frac{1}{2}$）^a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过将数列{b_n}中的第2、4、6项分别用首项表示出来，利用b₄是b₂与b₆+1的等比中项计算可知b₁=$\frac{1}{2}$，进而可知b_n=$\frac{n}{2}$，当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1计算可知a_n=3n-2，进而可得结论；
（2）通过（1）可知c_n=$\frac{4}{{8}^{n}}$，利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）∵数列{b_n}是公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
∴b₂=b₁+$\frac{1}{2}$，b₄=b₁+$\frac{3}{2}$，b₆=b₁+$\frac{5}{2}$，
又∵b₄是b₂与b₆+1的等比中项，
∴${{b}_{4}}^{2}$=b₂（b₆+1），即$（{b}_{1}+\frac{3}{2}）^{2}$=$（{b}_{1}+\frac{1}{2}）$$（{b}_{1}+\frac{5}{2}+1）$，
解得：b₁=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n}{2}$，
∵b_n=$\frac{{S}_{n}}{3n-1}$（n∈N^*），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{2}$•（3n-1）-$\frac{n-1}{2}$•（3n-4）=3n-2，
又∵a₁=2b₁=1满足上式，
∴a_n=3n-2；
（2）由（1）可知c_n=（$\frac{1}{2}$）^a_n=$\frac{1}{{2}^{3n-2}}$=$\frac{4}{{8}^{n}}$，
∴T_n=4•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{8}^{n}}）}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{16}{7}$-$\frac{2}{7}$•$\frac{1}{{8}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．