Question

设函数f（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3）的最大值为m，最小值为n，其中a≠0，a∈R．角β的顶点与平面直角坐标系xoy中的原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点A（m-1，n+3），则sin（β+

π

6

）=

 

．

Answer 1

分析：根据f（x）解析式，利用二次函数的性质求出最小值与最大值，确定出m与n的值，进而确定出A坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinβ与cosβ的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：f（x）=-x²+2x+a=-（x-1）²+a+1，
∵0≤x≤3，
∴x=1时，f（1）=a+1=m，x=3时，f（3）=a-3=n，
∴A（a，a），
当a＞0时，sinβ=cosβ=

2

2

，此时sin（β+

π

6

）=

3

2

sinβ+

1

2

cosβ=

6 + 2

4

；
当a＜0时，sinβ=cosβ=-

2

2

，此时sin（β+

π

6

）=

3

2

sinβ+

1

2

cosβ=-

6 + 2

4

．
故答案为：±

6 + 2

4

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二次函数在闭区间上的最值，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．