Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
（1）求异面直线BC₁与AA₁所成的角的大小；
（2）求三棱锥B₁-A₁C₁B的体积；
（3）求证：B₁D⊥平面A₁C₁B．

Answer 1

【答案】分析：（1）异面直线BC₁与AA₁所成的角的大小即∠B₁BC₁（或其补角），再由正方体的性质可得△B₁BC₁为等腰直角三角形，可得∠B₁BC₁ 的大小．
（2）三棱锥B₁-A₁C₁B的体积 即=••BB₁，运算求得结果．
（3）由正方体的性质可得，由三垂线定理可得B₁D⊥A₁C₁，同理可证，B₁D⊥A₁B，再根据直线和平面垂直的判定定理可得B₁D⊥平面A₁C₁B．
解答：解：（1）由于A₁A和B₁B平行且相等，故异面直线BC₁与AA₁所成的角的大小即为BB₁与BC₁城的角，
故∠B₁BC₁（或其补角）为所求．
再由正方体的性质可得△B₁BC₁为等腰直角三角形，故∠B₁BC₁=45°，
即异面直线BC₁与AA₁所成的角的大小为45°．
（2）三棱锥B₁-A₁C₁B的体积即 =••BB₁=×（）×1=．
（3）证明：由正方体的性质可得，B₁D在上底面A₁B₁C₁D₁内的射影为B₁D₁，且A₁C₁⊥B₁D₁．
由三垂线定理可得B₁D⊥A₁C₁．
同理可证，B₁D⊥A₁B．
而A₁C₁和 A₁B是平面A₁C₁B内的两条相交直线，根据直线和平面垂直的判定定理，可得B₁D⊥平面A₁C₁B．
点评：本题主要考查求异面直线所成的角，用等体积法求棱锥的体积，直线和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．