Question

已知F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（-

2

，1）在椭圆上，线段PF₂与y轴的交点M满足

PM

+

F2M

=

0

．
（1）求椭圆C的方程．
（2）椭圆C上任一动点M（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为M₁（x₁，y₁），求3x₁-4y₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知，点P（-

2

，1）在椭圆上，又

PM

+

F2M

=0，M在y轴上，M为P、F₂的中点，由此解得b²=2，a²=4．从而能得到
所求椭圆C的方程．
（2）点M（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为M（x₁，y₁），由题设能导出3x₁-4y₁=-5x₀，由点P（x₀，y₀）在椭圆C上，知-2≤x₀≤2．由此可知3x₁-4y₁的取值范围为[-10，10]．

解答：解：（1）由已知，点P（-

2

，1）在椭圆上
∴有

2

a2

+

1

b2

=1①（1分）
又

PM

+

F2M

=0，M在y轴上，
∴M为P、F₂的中点，（2分）
∴-

2

+c=0，c=

2

．（3分）
∴由a²-b²=2，②（4分）
解①②，解得b²=2（b²=-1舍去），∴a²=4
故所求椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．（6分）
（2）∵点M（x₀，y₀）关于直线y=2x的对称点为M（x₁，y₁），
∴

y0-y1 x0-x1 ×2=-1 y0+y1 2 =2× x0+x1 2

（8分）
解得

x1= 4y0-3x0 5 y1= 3y0-4x0 5

（10分）
∴3x₁-4y₁=-5x₀（11分）
∵点P（x₀，y₀）在椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1上，∴-2≤x₀≤2∴-10≤-5x₀≤10．
即3x₁-4y₁的取值范围为[-10，10]．（12分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．