Question

已知函数f（x）=（ax+1）a^-x，a＞0且a≠1，讨论f（x）的单调性，并求出极值点x₀．

Answer 1

解：f'（x）=aa^-x-a^-xlna（ax+1）
令f'（x）=0，解得x=
当0＜a＜1时，令f'（x）＜0，解得x∈
令f'（x）＞0，解得x∈
∴f（x）在上单调递减，在上单调递增，
当a＞1时，令f'（x）＞0，解得x∈
令f'（x）＜0，解得x∈
f（x）在上单调递减，在上单调递增．
极值点
分析：先求函数f（x）的导函数f'（x），然后求出f'（x）=0的值，讨论a与1的大小，分别求解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间，从而得到极值点x₀．
点评：本题主要考查了指数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，分类讨论的数学思想，属于基础题．