Question

已知O为平面直角坐标系的原点，过点M（-2，0）的直线l与圆x²+y²=1交于P，Q两点．
（I）若，求直线l的方程；
（Ⅱ）若△OMP与△OPQ的面积相等，求直线l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积的定义求出，∠POQ=120°，得到O到直线l的距离等于，根据点到直线的距离公式求出
直线l的斜率，从而得到直线l的方程．
（Ⅱ）因为△OMP与△OPQ的面积相等，可得，再由P，Q两点在圆上，可解得点P的坐标，由两点式求得
直线l的斜率．
解答：解：（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，因为直线l过点M（-2，0），可设直线l：y=k（x+2）．
因为P、Q两点在圆x²+y²=1上，所以，，
因为，所以，
所以，∠POQ=120°，所以，O到直线l的距离等于． 所以，，得，
所以直线l的方程为 ，或 ．
（Ⅱ）因为△OMP与△OPQ的面积相等，所以，，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），所以，，．
所以，，即（*）；     因为，P，Q两点在圆上，
所以，把（*）代入，得，所以，，
所以，直线l的斜率，即 ．
点评：本题考查两个向量的数量积的定义，直线和圆相交的性质，求出点P的坐标是解题的难点．