Question

已知两点F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，满足条件|PF₂|-|PF₁|=2的动点P的轨迹是曲线E，直线 l：y=kx-1与曲线E交于A、B两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）如果|AB|=6

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据双曲线的定义求出曲线E的方程，再根据直线l：y=kx-1与曲线E交于A、B两点，把y=kx-1代入曲线E的方程，△＞0，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0，求出k的范围．
（Ⅱ）利用弦长公式，用含k的式子表示|AB|长，再根据|AB|=6

3

，就可求出k值，得到直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，
曲线E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点的双曲线的左支           
且c=

2

，a=1，易知b=1．
故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意建立方程组

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，则

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

解得-

2

＜k＜-1．
即k的取值范围是-

2

＜k＜-1．（6分）
（Ⅱ）∵|AB|=

1+k2

•|x1-x2|
=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2-4× -2 1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

（8分）
依题意得2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

，
整理后得28k⁴-55k²+25=0，解得k2=

5

7

或k2=

5

4

又-

2

＜k＜-1，∴k=-

5

2

，
故直线AB的方程为

5

2

x+y+1=0．

点评：本题考查了直线与双曲线相交的判断，以及弦长公式的应用，做题时要认真分析，用对公式．