Question

已知两点F₁（-2，0），F₂（2，0），曲线C上的动点P满足|PF1|+|PF2|=

2

|F1F2|．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C上是否存在点M，使得

MF1

•

MF2

=3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：|MF₁|+|MF₂|=

2

|F₁F₂|=4

2

＞|F₁F₂|=4，所以曲线C是以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点，长轴长为4

2

的椭圆，进而求出椭圆的标准方程．
（2）假设椭圆C存在点M满足题意，设M（x，y），可得：

MF1

•

MF2

=x2+y2-4=3，再利用点在椭圆上所以有：x²=8-2y²，进而根据两个方程求出点的坐标得到答案．

解答：解：（1）因为|F₁F₂|=4，|MF₁|+|MF₂|=

2

|F₁F₂|=4

2

＞|F₁F₂|=4，
所以曲线C是以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点，长轴长为4

2

的椭圆，
所以a=2

2

，c=2，所以b²=4，
曲线C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）假设椭圆C存在点M，使得

MF1

•

MF2

=3．
证明：设M（x，y），则

MF1

=(-2-x，-y)，

MF2

=(2-x，-y)，
所以

MF1

•

MF2

=x2+y2-4．
因为

x2

8

+

y2

4

=1，所以x²=8-2y²，
所以

MF1

•

MF2

=4-y2，令4-y²=3，解得：y=±1，所以x=±

6

．
所以满足题意的点共有四个：M1(

6

，1)，M2(

6

，-1)，M3(-

6

，1)，M4(-

6

，-1)．

点评：本题主要考查了椭圆的定义与椭圆的简单性质，以及向量的数量积．考查了学生分析问题和解决问题的能力，解题时要认真审题，仔细解题．