Question

已知函数f（x）=x²-2ax+3在区间[0，1]上的最大值是g（a），最小值是p（a）．
（1）写出g（a）和p（a）的解析式．
（2）当函数f（x）的最大值为3、最小值为2时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据所给的二次函数的性质，写出对于对称轴所在的区间不同时，对应的函数的最大值，是一个分段函数形式，同理写出函数的最小值也是一个分段函数的形式．
（2）当

1

2

≤a≤1时，g（a）=f（x）_max=f（0）=3，p（a）=f（x）_min=3-a²=2，解得a=1；当a＞1时，g（a）=f（x）_max=f（0）=3，p（a）=f（x）_min=4-2a=2，解得a=1（舍），得到结果．

解答：解：（1）f（x）=（x-a）²+3-a²．
当a＜

1

2

时，g（a）=f（x）_max=f（1）=4-2a；
当a≥

1

2

时，g（a）=f（x）_max=f（0）=3；
所以g(a)=

4-2a    (a＜ 1 2 ) 3         (a≥ 1 2 )

当a＜0时，p（a）=f（x）_min=f（0）=3；
当0≤a＜1时，p（a）=f（x）_min=3-a²；
当a≥1时，p（a）=f（x）_min=f（1）=4-2a；
所以p(a)=

3       3-a2 4-2a

(a＜0)， ，     (0≤a≤1)， (a＞1)．

（2）当

1

2

≤a≤1时，g（a）=f（x）_max=f（0）=3，p（a）=f（x）_min=3-a²=2，
解得a=1；
当a＞1时，g（a）=f（x）_max=f（0）=3，p（a）=f（x）_min=4-2a=2，解得a=1（舍）．
当a＜

1

2

时，验证知不符合题意．
所以a=1就是所求值．

点评：本题看出二次函数的性质，针对于函数的对称轴是一个变化的值，需要对对称轴所在的区间进行讨论，本题是一个综合题目，是一个易错题．