Question

定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时f（x）=-2（x-3）²，若函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：由f（x+2）=f（x）-f（1）恒成立可知f（x）图象以x=2为对称轴，周期T=2，作出f（x）的图象，使得y=log_a（x+1）的图象与f（x）的图象至少有三个交点．
解答：由f（x+2）=f（x）-f（1）得f（x+2）+f（1）=f（x），以-x代x，得f（-x+2）+f（1）=f（-x），
由于f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x），得出f（x+2）=f（-x+2）①，可知f（x）图象以x=2为对称轴．
在f（x+2）=f（x）-f（1），令x=-1，得出f（1）=f（-1）-f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）周期T=2，
作出f（x）的图象，
∵y=log_a（x+1）的图象与f（x）的图象至少有三个交点，即有log_a（2+1）＞f（2）=-2且0＜a＜1，解得，
故选B．
点评：本题考查利用函数的图象、性质的应用，函数的零点的判断．其中推导出周期性和对称性是关键．