Question

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BCD=90°。
（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵折起前AD是BC边上的高， ∴当ΔABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB， 又DB∩DC=D， ∴AD⊥平面BDC， ∵AD平面ADB， ∴平面ADB⊥平面BDC。
（Ⅱ ）解：由∠BDC=90°及（Ⅰ）知DA，DB，DC两两垂直， 不妨设|DB|=1， 以D为坐标原点，以所在直线x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，3，0）， A（0，0，），E（，，0）， ∴，=（1，0，0）， ∴与夹角的余弦值为 。