Question

已知1≤x≤10且xy²=100，求（lgx）²+（lgy）²的最大值和最小值，并求取得最大值和最小值时相应的x，y的值．

Answer 1

分析：由题意，要求（lgx）²+（lgy）²的最大值和最小值，可先处理条件xy²=100，两边取常用对数，得到lgx+2lgy=2，由于得到lgy=1-

1

2

lgx，将其代入到f（x）=（lgx）²+（lgy）²中即可得到（lgx）²+（lgy）²关于lgx的一元二次函数，令lgx=t，换元后由二次函数的性质求最值，及相应的x，y的值

解答：解：xy²=100 两边取对数得到：lg（xy²）=lg100=2 lgx+2lgy=2 所以：lgy=1-

1

2

lgx．f（x）=（lgx）²+（lgy）²=（lgx）²+[1-

1

2

lgx]²=

5

4

（lgx）²-lgx+1 设lgx=t，则有0≤t≤1，f（x）=

5

4

t²-t+1 对称轴t=

2

5

，在区间[0，1]范围内，所以：f（x）在t=

2

5

处取得最小值，此时x=10

2

5

，y=10

4

5

； f（x）在t=1处取得最大值，此时x=10，y=10

1

2

．

点评：本题考点是对数函数图象与性质的综合运用，考查了对数的运算性质，换元法，二次函数的性质，解题的关键是由题设条件结合换元的技巧构造出二次函数，利用二次函数的性质求出最值，本题的难点是构造函数，利用函数求最值，本题易因为换元后忘记求新元的取值范围而出错．