Question

（2012•盐城一模）已知x、y、z均为正数，求证：

3

3

(

1

x

+

1

y

+

1

z

)≤

1 x2 + 1 y2 + 1 z2

．

Answer 1

分析：已知x、y、z均为正数，根据柯西不等式（a₁²+a₂²+a₃²）（b₁²+b₂²+b₃²）≥（a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃）²，可得(12+12+12)(

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

)≥(

1

x

+

1

y

+

1

z

)2然后进行化简，从而进行证明．

解答：证明：由柯西不等式得(12+12+12)(

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

)≥(

1

x

+

1

y

+

1

z

)2…（5分）
则

3

×

1 x2 + 1 y2 + 1 z2

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

，
即

3

3

(

1

x

+

1

y

+

1

z

)≤

1 x2 + 1 y2 + 1 z2

…（10分）

点评：此题主要是柯西不等式的应用，只是进行简单的变形而已，此题比较简单．